提起刑事诉讼附带民事赔偿的方式是：受害人或者其法定代理人在刑事案件的侦查、审查起诉阶段，可以向机关、人民提出赔偿要求、检察机关然后记录在案，在刑事案件起诉后，人民应当按附带民事诉讼案件受理。
【本文关联的相关法律依据】
《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百零一条
被害人由于被告人的犯罪行为而遭受物质损失的，在刑事诉讼过程中，有权提起附带民事诉讼。被害人死亡或者丧失行为能力的，被害人的法定代理人、近亲属有权提起附带民事诉讼。如果是国家财产、集体财产遭受损失的，人民在提起公诉的时候，可以提起附带民事诉讼。